Тригонометрические функции
Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.
Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 -cos pi, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.
Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном. В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга. Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические как функции числового аргумента.
В1770 г. появилось и удерживается до наших дней название Тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе “Аналитическая тригонометрия”.
Секретные тригонометрические функции, подобно логарифмам, упрощали расчеты. Версинус и гаверсинус использовались чаще всего. Если угол \theta близок к нулю, его косинус очень близок к 1. Если в вычислениях имеется 1-\cos\theta, то ответ может быть неправильным, если в вашей таблице косинусов не хватает значащих цифр.
Для примера, косинус 5^{\circ} равен 0,996194698, а \cos 1^{\circ}= 0,999847695. Разность \cos1^{\circ}-\cos5^{\circ}=0,003652997. Если у вас в таблице косинусов три значащих цифры, вы получите только одну значащую цифру в вашем результате, из-за нулей в разности. И таблица только с тремя значащими цифрами не покажет различия между углами 0^{\circ} и 1^{\circ}. Во многих случаях это не имеет значения, но это может быть проблемой, если ошибка появляется в процессе вычислений.
Дополнительные тригонометрических функции также имеют то преимущество, что они всегда неотрицательны. Версинус принимает значения от 0 до 2, так что если вы используете для умножения таблицы логарифмов с версинусом, вам не придется беспокоиться о том, что для отрицательных чисел логарифм не определен. (Он не определена и для 0, но с этим случаем легко справиться). Еще одно преимущество версинуса и гаверсинуса состоит в том, что они могут избавить от необходимости возводить в квадрат.
Немного тригонометрической мудрости (типа запоминания одной тригонометрической формулы из их бесконечного списка, который вы изучали в школе) показывает, что \displaystyle 1-\cos\theta = 2\sin^2 \frac{\theta}{2}. Таким образом, гаверсинус — это всего лишь \displaystyle \sin^2\frac{\theta}{2}. Аналогично, гаверкосинус — это \displaystyle \cos^2\frac{\theta}{2}. Если в ваших вычислениях есть квадраты синуса или косинуса, вы можете использовать таблицы гаверсинуса или гаверкосинуса, и вам не придется возводить в квадрат или извлекать квадратные корни.